Modifiziertes Gompertz-Modell in BMP-Tests: Verzögerung, Rate und Potenzial

Das modifizierte Gompertz-Modell beschreibt die kumulierte Methanproduktion mit einer sigmoidalen Kurve: B(t) = P·exp{−exp[(Rm·e/P)·(λ − t) + 1]}, wobei P das Endpotenzial ist, Rm — die maximale Produktionsrate (NmL/g oTS/d), λ — die Verzögerungszeit (d), e — die Basis des natürlichen Logarithmus. Es wird angewendet, wenn die Produktion nach Testbeginn verzögert einsetzt, dann beschleunigt und abklingt, also wenn das Modell erster Ordnung nicht zu den Daten passt.

Wann die BMP-Kurve S-förmig ist

• das Inokulum erfordert eine Adaptation an das Substrat (z. B. Fette, Substrate mit Inhibitoren),
• das Substrat erfordert eine Hydrolyse vor der Methanbildung (lignocellulosehaltige Materialien),
• niedriges I/S verursacht eine zeitweilige Versauerung und Verzögerung,
• in der Probe treten zwei Abbaustufen auf.

Parameter

Rechenbeispiel

Nehmen wir P = 300, Rm = 25, λ = 2 d an. Koeffizient Rm·e/P = 25 × 2,718 / 300 ≈ 0,2265 d⁻¹.

(Berechnung für t = 10: exp(−0,812) ≈ 0,444, exp(−0,444) ≈ 0,641, B = 300 × 0,641 ≈ 192.) Die maximale Rate liegt im Wendepunkt, wo B = P/e ≈ 110 NmL/g oTS; aus der Gleichung folgt, dass dieser in der Gegend von t = λ + P/(Rm·e) ≈ 2 + 4,4 ≈ 6,4 d auftritt.

Anpassung Schritt für Schritt

1. Geben Sie die Daten (t, B kumuliert) in ein Werkzeug mit nichtlinearer Regression ein (Tabellenkalkulation mit Solver, R, Python).
2. Legen Sie Startwerte fest: P ≈ letzter Punkt, Rm ≈ größte Steigung, λ ≈ Schnittpunkt der Tangente mit der Zeitachse.
3. Passen Sie die Parameter an; prüfen Sie die Konvergenz.
4. Bewerten Sie RMSE, Residuen, Konfidenzintervalle.
5. Vergleichen Sie mit dem Modell erster Ordnung (z. B. Kriterium AIC); wählen Sie das einfachere, wenn der Unterschied gering ist.

Fallstricke

• Zu viele Parameter. Drei Parameter bei einer kurzen Kurve mit wenigen Punkten ergeben unzuverlässige Schätzungen.
• P als BMP. Wurde der Test vorzeitig beendet, ist P eine Extrapolation; geben Sie sie mit Kommentar an.
• Interpretation von λ. Die Verzögerung ergibt sich aus Inokulum und I/S und ist kein Merkmal des Materials.
• Vergleich zwischen Laboren. Kinetische Parameter zeigen eine größere Streuung als B₀/P.
• Fehlender Mechanismus. Das Modell ist empirisch; es erklärt nicht, warum die Verzögerung aufgetreten ist.

Nutzung in der Praxis

Das Gompertz-Modell ist nützlich zur Beschreibung von Kurven in Veröffentlichungen und Berichten, zur Beurteilung des Einflusses der Vorbehandlung auf die Verzögerung sowie zum Erkennen von Problemen: Ein verlängertes λ bei einem bekannten Substrat im Vergleich zu früheren Serien kann auf ein schwächeres Inokulum oder einen Inhibitor hinweisen. Es sollte nicht unmittelbar zur Auslegung des Fermenters verwendet werden, da kontinuierliche Bedingungen sich von periodischen unterscheiden.

Dokumentation

Geben Sie im Bericht an: die Form der Gleichung, das Anpassungsprogramm, die Werte P, Rm, λ mit Unsicherheit, die Gütemaße der Anpassung und den Bereich der für die Anpassung verwendeten Daten. Verwenden Sie ein Zweiphasenmodell oder ein anderes, benennen Sie es ausdrücklich. So kann der Leser das Ergebnis nachvollziehen.

Modellwahl — ein kurzer Spickzettel

Zusätzliches Beispiel: Effekt der Vorbehandlung

Nehmen wir an, dass das Substrat vor der Behandlung P = 280, Rm = 12, λ = 4 d hat und nach der Behandlung P = 300, Rm = 22, λ = 1,5 d. Ein Anstieg von P um ca. 7% ist gering, doch die maximale Rate hat sich fast verdoppelt, und die Verzögerung hat sich um 2,5 d verkürzt. Für eine Anlage mit kurzer HRT ist das eine bedeutende Änderung: Ein größerer Teil des Potenzials wird im Fermenter ausgenutzt. Würde man die Behandlung nur anhand des End-BMP beurteilen, wäre der Nutzen unterschätzt.

Hinweise zu Datenbeschränkungen

Die Gompertz-Anpassung erfordert eine dichte Probenahme in der Umgebung des Wendepunkts, also dann, wenn die Produktion am schnellsten steigt. Bei Messungen alle paar Tage wird der Parameter Rm mit großer Unsicherheit geschätzt. Im Untersuchungsprogramm empfiehlt es sich, in den ersten zwei Wochen häufigere Messungen vorzusehen.

Unterschiede zu anderen sigmoidalen Modellen

In der Literatur werden auch das logistische Modell und das Richards-Modell verwendet, die eine ähnliche Form, aber andere Parametrisierungen haben. Ein Wechsel des Modells verändert die Werte von λ und Rm, daher ist der Vergleich von Parametern nur innerhalb eines Modells möglich. Lassen Sie sich bei der Wahl von der Anpassung und der Einfachheit leiten, nicht von der Zahl der Parameter.